Question

7．已知直线l：y=kx+1与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于A，B两点
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，若f（k）=[S（k）•（k²+1）]²，求f（k）的最大值．

Answer 1

分析 （1）欲求弦AB的中点M的轨迹方程，设点M（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知MN与MC所在直线垂直得到一个关系式，化简即得点M的轨迹方程．
（2）先将y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，最后结合配方法求解函数f（k）的最大值即可．

解答 解：（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3）．设M（x，y），
∵MN与MC所在直线垂直，
∴$\frac{y-1}{x}•\frac{y-3}{x-2}=-1$（x≠0且x≠2），
当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，
∴AB中点的轨迹方程为：x²+y²-2x-4y+3=0（$\frac{7-\sqrt{7}}{4}$＜x＜$\frac{7+\sqrt{7}}{4}$）；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵S_△OAB=S_△ONB-S_△ONA，且|ON|=1，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|x₂-x₁|．
将y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
∴4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=$\frac{32k-12-12{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}$
∴S²（k）=$\frac{32k-12-12{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）^{2}}$，
∴f（k）=[S（k）•（k²+1）]²=-3k²+8k-3，
∵△＞0得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
∴k=$\frac{4}{3}$时，f（k）的最大值为$\frac{7}{3}$．

点评 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求最值的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．