Question

设斜率为1的直线l与椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1相交于不同的两点A、B，则使|AB|为整数的直线l共有（　　）

• A、4条
• B、5条
• C、6条
• D、7条

Answer 1

分析：设直线AB的方程代入椭圆方程，根据判别式求得b的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则可表示出|AB|，根据|AB|为整数求得b，进而求得答案．

解答：解：设直线AB的方程为y=x+b，代入椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1，
可得3x²+4bx+2b²-4=0，
由△=16b²-12（2b²-4）＞0，可得b²＜6，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AB|=

2

×

(x1-x2)2

=

2

×

(- 4b 3 )2-4× 2b2-4 3

=

4

3

6-b2

，
分别取b²=

15

4

，

87

16

，

15

16

时，
可分别得|AB|=2，1，3，
此时对应的直线l有6条．
故选C

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键找到直线与|AB|的相关性，以此建立等式．