Question

6．已知圆D经过点M（1，0），且与圆C：x²+y²+2x-6y+5=0切于点N（1，2）．
（Ⅰ）求两圆过点N的公切线方程；
（Ⅱ）求圆D的标准方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心C（-1，3），直线CN的斜率，得到公切线的斜率k=2，即可求公切线方程．
（Ⅱ）求出线段MN的中垂线方程为y=1，求出圆心D（3，1），求出圆D的半径，即可求解圆D的标准方程．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）圆C的标准方程是（x+1）²+（y-3）²=5，圆心C（-1，3）．（2分）
直线CN的斜率${k_{CN}}=\frac{3-2}{-1-1}=-\frac{1}{2}$，（3分）
因为过N的公切线与直线CN垂直，所以公切线的斜率k=2，（4分）
故所求公切线方程y-2=2（x-1），即2x-y=0．（6分）
（Ⅱ）直线CN方程为$y-2=-\frac{1}{2}（{x-1}），即x+2y-5=0$，（7分）
线段MN的中垂线方程为y=1，（8分）
解$\left\{\begin{array}{l}x+2y-5=0\\ y=1\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$，即圆心D（3，1）．（10分）
圆D的半径为$|{MD}|=\sqrt{{{（{3-1}）}^2}+{1^2}}=\sqrt{5}$，（11分）
所以圆D的标准方程是（x-3）²+（y-1）²=5．（12分）

点评 本题考查的方程的求法，切线方程的求法，考查计算能力．