Question

（本题满分15分）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

（Ⅲ）过的直线与（Ⅱ）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）椭圆的方程为；（Ⅲ）存在，直线的方程为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，，由 ,可知为的中点，由此可得，，设,知，， 由题意可知， ，即得，，进一步计算可求出离心率的值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，可求出的外接圆圆心为，即，半径,所以再利用圆心到直线的距离等于半径,可得到关于的方程，解出值，从而得到椭圆的方程.（Ⅲ）这是探索性命题，一般先假设存在，

可设，，由题异号, 的内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大，而，所以可设直线的方程为,直线与椭圆方程联立，消，再借助韦达定理来解决即可.

试题解析：（Ⅰ）由题，为的中点．

设，，则，，

由题，即，

即

（Ⅱ）由题外接圆圆心为斜边的中点，半径，

由题外接圆与直线相切

，即，即

，，故所求的椭圆的方程为

（Ⅲ）设，，由题异号．

设的内切圆的半径为，则的周长为，

，

因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大．

，

由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

由韦达定理得 ，，（）

令，则，

当时有最大值．此时，，

故的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为

考点：椭圆的方程，离心率，直线与二次曲线位置关系.