Question

4．如图，AC⊥平面α于C，BG⊥平面α于G，AB∥平面α，CD?平面α，M、N分别为AC、BD的中点，若AB=4，AC=2，CD=4，BD=6
（1）求证：CG⊥平面ACD；
（2）求MN的长．

Answer 1

分析 （1）证明GC⊥CD，又AC⊥α，GC⊥AC，AC∩CD=C，即可证明CG⊥平面ACD；
（2）取AD的中点H，连接MH、NH，证明NH⊥MH，即可求MN的长．

解答 （1）证明：在Rt△BDG中，BD=6，BG=2，∴$DG=4\sqrt{2}$
又AB=CG=4，CD=4，故△CDG为等腰直角三角形
∴GC⊥CD，又AC⊥α，∴GC⊥AC，AC∩CD=C
∴GC⊥平面ACD…（7分）
（2）解：取AD的中点H，连接MH、NH，
∴NH∥AB，∴NH⊥平面ACD，∴NH⊥MH
∵$MH=\frac{1}{2}CD=2，NH=\frac{1}{2}AB=2$，∴$MN=2\sqrt{2}$．…（14分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线段长的计算，正确证明线面垂直是关键．