Question

13．2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜$\frac{π}{2}$）为多大时，水渠中水的流失量最小？

Answer 1

分析 作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=$\frac{S}{h}$+$\frac{h（2-cosα）}{sinα}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$），令u=$\frac{2-cosα}{sinα}$，求出u取最小值时α的大小，可得结论．

解答 解：作BE⊥DC于E，
在Rt△BEC中，BC=$\frac{h}{sinα}$，CE=hcotα，
又AB-CD=2CE=2hcotα，AB+CD=$\frac{2S}{h}$，
故CD=$\frac{S}{h}$-hcotα．
设y=AD+DC+BC，
则y=$\frac{S}{h}$-hcotα+$\frac{2h}{sinα}$=$\frac{S}{h}$+$\frac{h（2-cosα）}{sinα}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=$\frac{2-cosα}{sinα}$取最小值，
u可看作（0，2）与（-sinα，cosα）两点连线的斜率，
由于α∈（0，$\frac{π}{2}$），
点（-sinα，cosα）在曲线x²+y²=1
（-1＜x＜0，0＜y＜1）上运动，
当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，
此时切点为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
则有sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且cosα=$\frac{1}{2}$，
那么α=$\frac{π}{3}$，
故当α=$\frac{π}{3}$时，水渠中水的流失量最小．

点评 本题考查的知识点是函数的最值，直线与圆的位置关系，其中求出水与渠壁的接触面y的解析式，将实际问题转化为函数问题，是解答的关键．