Question

13．已知函数f（x）=|x²-2x|，设关于x的方程f[f（x）]=a（a∈R）的实数根的个数为g（a），有下列五个命题：
①g（0）=4；
②g（1）=6；
③当a＜0时，g（a）=0；
④当0＜a＜1时，g（a）=8；
⑤当a＞1时，g（a）=3．
其中正确的有①③④（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，结合选项，逐个分析，即可得出结论．

解答 解：①a=0时，f[f（x）]=0，∴f（x）=0或2，
∴g（0）=4，正确；
②a=1时，f[f（x）]=1，由x²-2x=1，可得x=1±$\sqrt{2}$∴f（x）=1或1+$\sqrt{2}$，
∴g（1）=5，不正确；
③当a＜0时，g（a）=0，正确；
④当0＜a＜1时，f（x）的取值有1个小于0，
1个在（0，1），1个在（1，2），1个在（2，3），
∴g（a）=8，正确；
⑤当a＞1时，f（x）的取值有1个小于0，1个大于1，
∴g（a）=2．
故答案为①③④．

点评 本题考查命题真假判断，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．