Question

17．已知函数f（x）=e^x-kx²，x∈R．
（1）设函数g（x）=f（x）（x²-bx+2），当k=0时，若函数g（x）有极值，求实数b的取值范围；
（2）若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当k=0时，求得g（x）和g′（x）将函数f（x）有极值，转化成g′（x）=0在R上有解，根据二次函数性质求得b的取值范围；
（2）f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，等价于f′（x）=e^x-2kx≥0（x＞0）恒成立，分k≤0，0＜k≤$\frac{1}{2}$，k＞$\frac{1}{2}$三种情况进行讨论，前两种情况易作出判断，k＞$\frac{1}{2}$时，利用导数求出最值解不等式即可．

解答 解：（1）当k=0时，g（x）=e^x（x²-bx+2），g′（x）=e^x[x²+（2-b）x+2-b]，
∵函数f（x）有极值，
∴g′（x）=0在R上有解，
设h（x）=x²+（2-b）x+2-b，由二次函数图象及性质可知：△≥0，
（2-b）²-4（2-b）≥0，解得：b≥2或b≤-2；
实数b的取值范围（-∞，-2）∪（2，+∞）；
（2）f′（x）=e^x-2kx，将f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，转化成f′（x）≥0（x＞0）恒成立，
若k≤0，显然f′（x）＞0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
记φ（x）=e^x-2kx，则φ′（x）=e^x-2k，
当0＜k≤$\frac{1}{2}$时，
∵e^x＞e⁰=1，2k≤1，
∴φ′（x）＞0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
于是f′（x）=φ（x）＞φ（0）=1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当k＞$\frac{1}{2}$时，φ（x）=e^x-2kx在（0，ln2k）上单调递减，在（ln2k，+∞）上单调递增，
于是f′（x）=φ（x）≥φ（ln2k）=e^ln2k-2kln2k，
由e^ln2k-2kln2k≥0，得2k-2kln2k≥0，则 $\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{e}{2}$，
综上，k的取值范围为（-∞，$\frac{e}{2}$]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及不等式证明等知识，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，对能力要求很高，属于中档题．