Question

8．如图，在三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D，E为BC边上的点，且$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DE}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据向量的数乘运算及向量的加法、减法的几何意义便可得出$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AE}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+$$\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}$，再由条件，∠BAC=120°，AB=AC=2，进行数量积的运算便可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$的值．

解答 解：根据条件：
$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$
=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}=（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{11}{18}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{5}{18}{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{4}{9}+\frac{11}{18}×2×2×（-\frac{1}{2}）+\frac{10}{9}$
=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 考查向量的数乘运算，以及向量加法和减法的几何意义，向量数量积的运算及其计算公式．