Question

11．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，给出四个结论：
①函数f（x）一定有两个极值点．
②若x=x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x₀）上单调递减．
③f（x）的图象是中心对称图形．
④若f′（x₀）=0，则x=x₀是f（x）的极值点．
则结论正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据二次函数的性质判断即可．②④根据极值点的定义进行判断．③根据三次函数的性质进行判断．

解答 解：①f′（x）=3x²+2ax+b，若△=4a²-12b＜0，函数无极值点，故①错误；
②若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）必有极大值x=m，且m＜x₀，则函数f（x）在区间（m，x₀）上单调递减，故②错误；
③f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的对称中心是（x₀，y₀），
f（x）=x³+ax²+bx+c如果能写成f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的形式，那么三次函数的对称中心就是（x₀，f（x₀），
∴设f（x）=（x-x₀）³+p（x+m）+n，
得f（x）=ax³+3amx²+（3am²+p）x+am³+pm+n，
∴3am=b； 3am²+p=c； am³+pm+n=d；
∴m=$\frac{b}{3a}$，p=$\frac{3ac{-b}^{2}}{3a}$，n=d+$\frac{{2b}^{3}}{2{7a}^{2}}$-$\frac{bc}{3a}$，
∴f（x）=a（x+$\frac{b}{3a}$）³+（c-$\frac{{b}^{2}}{3a}$）（x+$\frac{b}{3a}$）+d+$\frac{{2b}^{3}}{2{7a}^{2}}$-$\frac{bc}{3a}$，
故函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形，故③正确；
④若f′（x₀）=0，则x=x₀不一定是f（x）的极值点，故④错误；
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查导函数与极值的应用，要求熟练掌握三次函数的图象和性质，属于中档题．