Question

10．已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，当x＞0时，f（x）＞3，那么，当f（a²-a-5）＜4时，实数a的取值范围是（-2，3）．

Answer 1

分析 先判断f（x）的单调性，再计算f（1）=4，不等式转化为a²-a-5＜1解出．

解答 解：（1）设x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞3，
∴f（x₂-x₁）＞3，
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
∴f（x₂）+f（-x₁）-3＞3，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞6；
令x=y=0得：f（0）=3，
再取y=-x得：f（x）+f（-x）=6，即f（-x）=6-f（x），
∴f（x₂）+6-f（x₁）＞6，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上递增，
∵f（3）=f（2）+f（1）-3=f（1）+f（1）-3+f（1）-3=3f（1）-6=6，
∴f（1）=4，
∴f（a²-a-5）＜4等价于a²-a-5＜1．
即a²-a-6＜0，解得-2＜a＜3．
故答案为（-2，3）．

点评 本题考查抽象函数的性质，考查利用单调性解不等式，已知抽象函数的运算性质，常用“赋值法”．