Question

10．如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切与点B，E为线段CB上一点，
连结AC、AE，分别交⊙O于D、G两点，连结DG并延长交CB于点F，
若EB=3EF，EG=1，GA=3，求线段CE的长．

Answer 1

分析 由题意因为EG=1，GA=3，所以EA=EG+GA=4，又因为EG•EA=EB²，可求EB=2，又EB=3EF，可求FB，利用角度关系，证明CEGD四点共圆，可得FG•FD=FE•FC=FB²，求得FC，那么线段CE的长=CF-EF，

解答 解：由题意：∵EG=1，GA=3，
∴EA=EG+GA=4，CB与⊙O相切与点B，E为线段CB上一点，∴EG•EA=EB²，
则EB=2，又EB=3EF，所以$EF=\frac{2}{3}$，FB=$\frac{4}{3}$，
连结BD，则∠AGD=∠ABD，∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90，
∴∠C=∠AGD，
所以∠C+∠DGE=180°，
因此：C，E，G，D四点共圆；
∴FG•FD=FE•FC=FB²，
求得FC=$\frac{8}{3}$．
∴CE=CF-EF=2．

点评 本题考查了切线的性质，弦切角定理，圆有关的线段比例．四点共圆的证明是关键．属于中档题．