Question

在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，求函数f(x)＝x³＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率.

Answer 1

f′(x)＝x²＋a≥0，故函数f(x)＝x³＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点等价于f(－1)·f(1)≤0，即(－－a－b)·(＋a－b)≤0，

得(＋a＋b)·(＋a－b)≥0，

又0≤a≤1,0≤b≤1，所以得

画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分，

由

令a＝0，代入a－b＋＝0，得所以阴影部分的面积为

1－××＝.所以P＝＝.