Question

直线

x

a

±

y

b

=0称为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的“特征直线”，若椭圆的离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆的“特征直线”方程；
（Ⅱ）过椭圆C上一点M（x₀，y₀）（x₀≠0）作圆x²+y²=b²的切线，切点为P、Q，直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点E、F，O为坐标原点，若

OE

•

OF

取值范围恰为(-∞，-3)∪[

3

16

，+∞)，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由离心率的值求得

b

a

=

1

2

， a=2b，即得特征直线

x

a

±

y

b

=0的方程．
（Ⅱ） 用点斜式求出直线PQ的方程，与圆的方程联立求得E的纵坐标y₁ ，同理求得F的纵坐标y₂，再根据点M满足的条件及两个向量的数量积公式求得，由0＜x₀²≤4b² 进一步化简得，

OE

•

OF

＜-3b2，或

OE

•

OF

≥

3b2

16

，结合条件有 b²=1，从而得到 椭圆C的方程．

解答：解：（Ⅰ）设c²=a²-b²（c＞0），则由e=

c

a

=

3

2

，得

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，
∴

b

a

=

1

2

 ， a=2b，椭圆的“特征直线”方程为：x±2y=0．
（Ⅱ）根据P、Q是以MO为直径的圆和圆x²+y²=b²的交点，把两圆的方程相减可得
直线PQ的方程，并化为一般式为 x₀x+y₀y=b²，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
联立

x0x+y0y=b2 x-2y=0

，解得 y1=

b2

y0+2x0

．  同理可求  y2=

b2

y0-2x0

，

OE

•

OF

=x1x2+y1y2=-3y1y2=

3b4

4 x 2 0 - y 2 0

，∵M（x₀，y₀）是椭圆上的点，
∴

x 2 0

4b2

+

y 2 0

b2

=1，从而

OE

•

OF

=

3b4

4 x 2 0 - y 2 0

=

3b4

17 4 x 2 0 -b2

，
∵0＜x₀²≤4b² ，∴-b2＜

17

4

x

2 0

-b2≤16b2，∴

OE

•

OF

＜-3b2，或

OE

•

OF

≥

3b2

16

，
由条件得  b²=1，故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．

点评：本题考查椭圆的简单性质，两个向量的数量积公式，以及不等式的性质的应用．