题目内容
14．
如图，分别过椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）左右焦点F1，F2的两条不同动直线l1，l2相交于P点，l1，l2与椭圆E分别交于A，B与C，D不同四点，直线OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=4，|CD|=3．（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值，若存在，求出M，N点坐标，若不存在，说明理由．
分析 （1）当l1与x轴重合时，CD⊥x轴，由此列出方程组求出a，b，从而能求出椭圆E的方程．
（2）当l1与x轴重合时，l2⊥x轴，P点即F2（1，0），当l2与x轴重合时，l1⊥x轴，P点即F1（-1，0），当l1，l2不与x轴重合时，设P（x0，y0）（x0≠±1，y0≠0），设l1：y=m（x+1），l2：y=n（x-1），椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，分别将直线l1，l2与椭圆联立，再利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出存在定点M、N为椭圆焦点$（{0，±\sqrt{2}}）$，使得|PM|+|PN|为定值为定值．
解答 解：（Ⅰ）当l1与x轴重合时，k1=k2=0，
∴k3+k4=0，∴CD⊥x轴，
|AB|=2a=4，|CD|=$\frac{2{b}^{2}}{a}=3$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=3}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）当l1与x轴重合时，l2⊥x轴，P点即F2（1，0），
当l2与x轴重合时，l1⊥x轴，P点即F1（-1，0），
当l1，l2不与x轴重合时，设P（x0，y0）（x0≠±1，y0≠0），
设l1，l2斜率分别为m，n（m≠n，m≠0，n≠0），
则：l1：y=m（x+1），①，l2：y=n（x-1），②，
又椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，③
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
由①③联立得（3+4m2）x2+8m2x+4m2-12=0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{m^2}}}{{3+4{m^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{m^2}}}$，④…（6分）
由 ②③联立得（3+4n2）x2-8n2x+4n2-12=0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{8{n^2}}}{{3+4{n^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{n^2}-12}}{{3+4{n^2}}}$，⑤…（7分）
由k1+k2=k3+k4，得$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_3}{x_3}+\frac{y_4}{x_4}$，
又：y1=m（x1+1），y2=m（x2+1），y3=n（x3-1），y4=n（x4-1），
代入上式，得：$m（{2+\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}}）=n（{2-\frac{{{x_3}+{x_4}}}{{{x_3}{x_4}}}}）$，…（8分）
将④⑤代入化简得（mn+3）（m-n）=0，∵m≠n，∴mn=-3，…（9分）
即：$\frac{y_0}{{{x_0}+1}}•\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=-3（{x_0}≠±1）$，化简得：${x_0}^2+\frac{{{y_0}^2}}{3}=1（{{x_0}≠±1}）$…（10分）
由P（±1，0）满足上式，所以P点轨迹方程为：${x^2}+\frac{y^2}{3}=1$…（11分）使得|PM|+|PN|为定值
故存在定点M（0，-$\sqrt{2}$）、N（0，$\sqrt{2}$）为椭圆焦点$（{0，±\sqrt{2}}）$，使得|PM|+|PN|=2$\sqrt{3}$为定值…（12分）
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线方程、韦达定理的合理运用．
| A． | （-1，-$\frac{1}{2}}$） | B． | （-$\frac{1}{2}$，0） | C． | （$\frac{1}{2}$，1） | D． | （1，2） |