Question

12．如图直角梯形OABC中，$∠COA=∠OAB=\frac{π}{2}，OC=2，OA=AB=1，SO⊥$面OABC，SO=1，以OC，OA，OS分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O-xyz．
（1）求$\overrightarrow{SC}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角α的余弦值；
（2）设SB与平面SOC所成的角为β，求sinβ．

Answer 1

分析 （1）根据已知，求出各顶点的坐标，进而求出向量 $\overrightarrow{SC}$与$\overrightarrow{OB}$的坐标，代入向量夹角公式，即可得到结论．
（2）求出平面SOC的法向量为（0，1，0），$\overrightarrow{SB}$=（1，1，-1），利用向量的夹角公式，即可求SB与平面SOC夹角的正弦值．

解答 解：（1）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）．
∴$\overrightarrow{SC}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{OB}$=（1，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{SC}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴$\overrightarrow{SC}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角α的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$；           
（2）平面SOC的法向量为（0，1，0），$\overrightarrow{SB}$=（1，1，-1），
∴sinβ=|$\frac{1}{1•\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间角的计算，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．