Question

9．已知函数f（x）=（x-1）e^x，g（x）=lnx，其中e是自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求函数h（x）=f（x）+e|g（x）-a|（a为常数）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）函数h（x）=g（x）+e|f（x）-a|=（x-）e^x+e|lnx-a|（a为常数），求导，利用导数的性质求得单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-1）e^x，
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）∵函数h（x）=f（x）+e|g（x）-a|=（x-）e^x+e|lnx-a|（a为常数），
∴函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1{）e}^{x}+e（lnx-a），（x{≥e}^{a}）}\\{（x-1{）e}^{x}+e（a-lnx），（x{＜e}^{a}）}\end{array}\right.$，…（9分）
①当x≥e^a时，h′（x）=xe^x+$\frac{e}{x}$＞0恒成立，
则函数h（x）在[e^a，+∞）上为单调递增函数，…（10分）
②当0＜x＜e^a时，h′（x）=xe^x-$\frac{e}{x}$，
又∵[h′（x）]′=（xe^x-$\frac{e}{x}$）′=（x+1）e^x+$\frac{e}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴函数h′（x）=xe^x-$\frac{e}{x}$在（0，e^a）上为单调递增函数，
又∵h′（1）=0，
∴函数h′（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，e^a）上恒大于0…（12分），
1⁰、当a≤0时，e^a≤1，则此时h′（x）在（0，e^a）上恒小于0
即函数r（x）在（0，e^a）上为单调递减函数，…（13分），
2⁰、当a＞0时，e^a＞1，则此时h′（x）在（0，1）上恒小于0，在（1，e^a）上恒大于0，
即函数r（x）在（0，1）上为单调递减函数，在（1，e^a）上为单调递增函数，…（15分）
综上可知：当a≤0时，函数r（x）递减区间为（0，e^a），递增区间为[e^a，+∞），
当a＞0时，函数r（x）递减区间为（0，1），递增区间为[1，+∞），…（16分）

点评 本题主要考查函数导数在求函数极值、单调区间的应用，属于中档题型．