Question

3．如图所示的多面体中，已知菱形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，其中∠FAC为直角，∠ABC=60°，EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AB=1，FA=$\sqrt{3}$．
（1）求证：DE⊥平面BEF；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于O点，连接EO，证明EF⊥ED，ED⊥BE，即可证明：DE⊥平面BEF；
（2）利用两个四棱锥的体积求多面体ABCDEF的体积．

解答 （1）证明：连接BD交AC于O点，连接EO．
因为∠ABC=60°，且四边形ABCD为菱形，所以AC=AB=2AO．
又EF∥AC，$EF=\frac{1}{2}AB=1$，∠FAC为直角，所以四边形AOEF为矩形，则EO⊥AC，
由四边形ABCD为菱形得BD⊥AC，
又EO∩CO=O，所以AC⊥平面ODE，
而ED?平面ODE，则AC⊥ED，
又EF∥AC，所以EF⊥ED，
因为$BO=AF=EO=OD=\sqrt{3}$，故∠BEO=∠DEO=45°，则∠BED=90°，即ED⊥BE，
又EF∩BE=E，所以DE⊥平面BEF．
（2）解：由（1）知，BD⊥平面ACEF，
所以${V_{ABCDEF}}={V_{B-ACEF}}+{V_{D-ACEF}}=2×\frac{1}{3}×[\frac{1}{2}（1+2）×\sqrt{3}]×\sqrt{3}=3$．

点评 本题考查线面垂直并求多面体的体积．考查了空间几何体的线、面位置关系用相关量的运算，属于中档题．