Question

7．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，则k的值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{16}{3}$
• C． 3或$\frac{16}{3}$
• D． $\frac{19}{25}$或21

Answer 1

分析 根据题意，依据椭圆焦点的不同位置分2种情况讨论：①、当k＜4时，其焦点在x轴上，②、当k＞4时，其焦点在y轴上，每种情况下求出a、b、c的值，表示出离心率，进而结合题意可得关于k的方程，解可得k的值，综合可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1，分2种情况讨论：
①、当k＜4时，其焦点在x轴上，
此时有a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{k}$，则c=$\sqrt{4-k}$，
若其离心率为$\frac{1}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-k}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解可得k=3，
②、当k＞4时，其焦点在y轴上，
此时有b=$\sqrt{4}$=2，a=$\sqrt{k}$，则c=$\sqrt{k-4}$，
若其离心率为$\frac{1}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{k-4}}{\sqrt{k}}$=$\frac{1}{2}$，
解可得k=$\frac{16}{3}$，
综合可得：k=3或$\frac{16}{3}$；
故选：C．

点评 本题考查椭圆的性质，注意本题不能确定椭圆焦点的位置，需要分情况讨论．