Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，其中一个焦点坐标为（

2

，0)，离心率为

6

3

，离心率为

6

3

，
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知向量

OB

=（0，-1），是否存在斜率为k（k≠0）的直线l．l与曲线C相交于M，N两点，使向量

BM

与向量

BN

的夹角为60°，且|

BM

|=|

BN

|？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

+1(a＞b＞0)，由一个焦点坐标为（

2

，0)，离心率为

6

3

，离心率为

6

3

，可得c=

2

，

c

a

=

6

3

，b²=a²-c²，解出即可．
（2）假设存在斜率为k（k≠0）的直线l：y=kx+m．l与曲线C相交于M，N两点，使向量

BM

与向量

BN

的夹角为60°，且|

BM

|=|

BN

|．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点E（x₀，y₀）．与椭圆的方程联立可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，△＞0，解得1+3k²＞m²．由BE⊥MN，可得k_BE•k_MN=-1，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得1+3k²=2m．利用弦长公式可得|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，利用点到直线的距离公式可得|BE|=

|1+m|

1+k2

．由向量

BM

与向量

BN

的夹角为60°，|

BM

|=|

BN

|．可得△BMN为等边三角形．利用|BE|=

3

2

|MN|，即可解出．

解答： 解：（1）设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

+1(a＞b＞0)，
∵一个焦点坐标为（

2

，0)，离心率为

6

3

，离心率为

6

3

，
∴c=

2

，

c

a

=

6

3

，解得c=

2

，a=

3

，
∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）假设存在斜率为k（k≠0）的直线l：y=kx+m．l与曲线C相交于M，N两点，使向量

BM

与向量

BN

的夹角为60°，且|

BM

|=|

BN

|．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点E（x₀，y₀）．
联立

y=kx+m x2+3y2=3

．化为（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
△＞0，解得1+3k²＞m²．
∴x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

．
x₀=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

，y₀=kx₀+m=

m

1+3k2

．
∵BE⊥MN，
∴k_BE•k_MN=

-1- m 1+3k2

0- -3km 1+3k2

×k=-1，
化为1+3k²=2m．
|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 36k2m2 (1+3k2)2 - 4(3m2-3) 1+3k2 ]

=

2 3 (1+k2)(1+3k2-m2)

1+3k2

，
|BE|=

|1+m|

1+k2

．
∵向量

BM

与向量

BN

的夹角为60°，|

BM

|=|

BN

|．
∴△BMN为等边三角形．
∴|BE|=

3

2

|MN|，
∴

|1+m|

1+k2

=

3

2

×

2 3 (1+k2)(1+3k2-m2)

1+3k2

，
把k2=

2m-1

3

代入化为：m=1．
解得k=±

3

3

．满足△＞0．
∴直线l的方程为：y=±

3

3

x+1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．