Question

2．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）=2x²-f（-x），当x∈（-∞，0）时，f′（x）+1＜2x．若f（m+2）≤f（-m）+4m+4，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [-$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 利用构造法设g（x）=f（x）-x²，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．

解答 解：∵f（x）=2x²-f（-x），
∴f（x）-x²+f（-x）-x²=0，
设g（x）=f（x）-x²，则g（x）+g（-x）=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（-∞，0）时，f′（x）+1＜2x，
g′（x）=f′（x）-2x＜-1，
故函数g（x）在（-∞，0）上是减函数，
故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，
若f（m+2）≤f（-m）+4m+4，
则f（m+2）-（m+2）²≤f（-m）-m²，
即g（m+2）＜g（-m），
∴m+2≥-m，解得：m≥-1，
故选：C．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．