Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x}{{e}^{x}}，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=-4^x+a•2^x+1+a²+a-1（a∈R），若f（g（x））＞e对x∈R恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． （-1，0）
• C． [-2，0]
• D． [-$\frac{1}{2}$，0]

Answer 1

分析 求得f（x）的值域，讨论当x≤0时，当x＞0时，求出导数，判断单调性可得范围，令t=g（x），则f（t）＞e，即有t≤0，则$\frac{-t}{{e}^{t}}$＞e，解得t＜-1，即-4^x+a•2^x+1+a²+a-1＜-1，由指数函数的值域和二次函数的最值的求法，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：当x≤0时，f（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$≥0，
f（x）的导数为f′（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$＜0，
即f（x）递减，则f（x）≥0；
当x＞0时，f（x）=$\frac{lnx}{x}$的导数为$\frac{1-lnx}{x}$，
当x＞e时，f（x）递减；当0＜x＜e时，f（x）递增．
则x=e处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$，
即有f（x）≤$\frac{1}{e}$．
令t=g（x），则f（t）＞e，
即有t≤0，则$\frac{-t}{{e}^{t}}$＞e，
即e^t+1+t＜0，由y=e^t+1+t在t≤0递增，
且t=-1时，y=0，可得t＜-1．
可得g（x）＜-1恒成立，
即有-4^x+a•2^x+1+a²+a-1＜-1，即有-4^x+a•2^x+1+a²+a＜0，
当a＞0时，y=-（2^x-a）²+2a²+a＜0，
由2^x＞0，可得2^x=a时，取得最大值2a²+a，
可得2a²+a＜0不成立；
当a≤0时，y=-（2^x-a）²+2a²+a＜0，
由2^x＞0，-a≥0，y＜a²+a，
可得a²+a≤0，解得-1≤a≤0．
综上可得a的范围是[-1，0]．
故选：A

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分段函数的值域，以及换元法，考查单调性的运用和不等式的解法，综合性较强，难度较大．