Question

试求常数m的范围，使曲线y=x²的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分．

Answer 1

分析：先求出曲线y=x²的存在弦能被直线y=m（x-3）垂直平分时的m的范围，进而得到曲线y=x²的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分的m的范围．

解答：解：设抛物线上存在两点(x1，

x

2 1

)，(x2，

x

2 2

)关于直线y=m（x-3）对称（m≠0），
则

x 2 1 + x 2 2 2 =m( x1+x2 2 -3) x 2 1 - x 2 2 x1-x2 =- 1 m

，
所以

x 2 1 +x 2 2 =m(x1+x2-6) x1+x2=- 1 m

．
消去x₂，得2

x

2 1

+

2

m

x1+

1

m2

+6m+1=0．
因为x₁∈R，所以△=(

2

m

)2-8(

1

m2

+6m+1)＞0．
所以（2m+1）（6m²-2m+1）＜0．所以m＜-

1

2

．
即当m＜-

1

2

时，抛物线上存在两点关于直线y=m（x-3）对称．
而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范围为m≥-

1

2

．

点评：本题考查了抛物线上是否存在两点关于某一条直线对称的问题，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．