Question

20．已知x=$\frac{1}{2}$（2005${\;}^{\frac{1}{n}}$-2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$）（其中n为正整数），那么（x-$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ=-$\frac{1}{2005}$或$\frac{1}{2005}$．

Answer 1

分析 由已知求出$\sqrt{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（2005${\;}^{\frac{1}{n}}$-2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$），从而x-$\sqrt{1+{x}^{2}}$=-2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$，由此能求出（x-$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ的值．

解答 解：∵x=$\frac{1}{2}$（2005${\;}^{\frac{1}{n}}$-2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$），
∴x²=$\frac{1}{4}$（2005${\;}^{\frac{2}{n}}$-2+2005${\;}^{-\frac{2}{n}}$），
1+x²=$\frac{1}{4}$（2005${\;}^{\frac{2}{n}}$-2+2005${\;}^{-\frac{2}{n}}$+4）
=$\frac{1}{4}$（2005${\;}^{\frac{2}{n}}$+2+2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$）
=$\frac{1}{4}$（2005${\;}^{\frac{1}{n}}$+2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$）²，
∴$\sqrt{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（2005${\;}^{\frac{1}{n}}$-2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$），
x-$\sqrt{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（2005${\;}^{\frac{1}{n}}$-2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$）-$\frac{1}{2}$（2005${\;}^{\frac{1}{n}}$+2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$）
=-2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$，
（x-$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ=（-2005${\;}^{-\frac{1}{n}}$）ⁿ=（-1）ⁿ•2005^-1．
∴当n是奇数时，（x-$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ=-$\frac{1}{2005}$，
当n是偶数时，（x-$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ=$\frac{1}{2005}$．
故答案为：-$\frac{1}{2005}$或$\frac{1}{2005}$．

点评 本题考查代数式的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．