Question

6．已知圆锥的母线长为20cm，则当其体积最大时，其侧面积为（　　）

• A． $\frac{800\sqrt{6}π}{3}$cm²
• B． $\frac{400\sqrt{6}π}{3}$cm²
• C． $\frac{100\sqrt{6}π}{3}$cm²
• D． $\frac{200\sqrt{6}π}{3}$cm²

Answer 1

分析 设底面半径为r，用r表示出圆锥的体积，利用函数思想求出体积的极大值点，代入侧面积公式即可．

解答 解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则h=$\sqrt{2{0}^{2}-{r}^{2}}$，∴圆锥的体积V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{3}π$$\sqrt{400{r}^{4}-{r}^{6}}$，
令f（r）=400r⁴-r⁶，∴f′（r）=1600r³-6r⁵，令f′（r）=0，解得r=$\sqrt{\frac{800}{3}}$，
当0＜r＜$\sqrt{\frac{800}{3}}$时，f′（r）＞0，当$\sqrt{\frac{800}{3}}$＜r＜20时，f′（r）＜0．
∴当r=$\sqrt{\frac{800}{3}}$时，f（r）取得最大值，即圆锥的体积取得最大值．
此时，圆锥的侧面积S=πrl=π×$\sqrt{\frac{800}{3}}$×20=$\frac{400\sqrt{6}π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，体积与表面积计算，函数思想求最值，属于中档题．