Question

（2013•三门峡模拟）设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知中a₁=1，a_n+1=3S_n+1，代入可得a₂，a₃的值，进而n≥2时，a_n=3S_n-1+1，与已知式相减可得a_n+1=4a_n，即数列{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，可得通项公式；
（II）数列{na_n}的通项是一个等差数列和等比数列积的形式，应选用错位相减法，求其前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=3S_n+1，
a₂=4，a₃=16．…（2分）
由题意，a_n+1=3S_n+1，
则当n≥2时，a_n=3S_n-1+1．
两式相减，化简得a_n+1=4a_n（n≥2）．…（4分）
又因为a₁=1，a₂=4，，
则数列{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以an=4n-1（n∈N^*）             …（6分）
（Ⅱ）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，
4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，…（8分）
两式相减得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n．…（12分）
化简整理得，T_n=4n(

n

3

-

1

9

)+

1

9

（n∈N^*）．…（13分）

点评：本题是数列问题比较经典的考题，是高考试卷考查数列的常见题型，首先要根据定义法，迭代法、构造数列法等求出数列的通项公式，再利用裂项法，错位相减法等求数列的前n项和．