Question

9．某研究性学习小组，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2月11日至2月16日的白天平均气温x（℃）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如表数据：

日期	2月11日	2月12日	2月13日	2月14日	2月15日	2月16日
平均气温x（℃）	10	11	13	12	8	6
饮料销量y（杯）	22	25	29	26	16	12

该小组的研究方案：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两天的概率；
（Ⅱ）若选取的是11日和16日的两组数据，请根据12日至15日的数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，并判断该小组所得线性回归方程是否理想．（若由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差均不超过2杯，则认为该方程是理想的）

Answer 1

分析 （1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，利用列举法能求出抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率．
（2）求出$\overline{x}$，$\overline{y}$．由公式，得$\widehat{b}$=$\frac{18}{7}$，$\widehat{a}$=-$\frac{30}{7}$，从而得到y关于x的线性回归方程，由此能求出该小组所得线性回归方程是理想的．

解答 解：（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，
∵所有基本事件（m，n）（其中m，n为2月份的日期数）有：
（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（11，16），
（12，13），（12，14），（12，15），（12，16），（13，14），
（13，15），（13，16），（14，15），（14，16），（15，16）共15个．
事件A包括的基本事件有：
（11，12），（12，13），（13，14），（14，15），（15，16）共5个．
∴抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率：
P（A）=$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$．…（4分）
（2）∵$\overline{x}$=$\frac{11+13+12+8}{4}$=11，
$\overline{y}$=$\frac{25+29+26+16}{4}$=24．
∴由公式，得$\widehat{b}$=$\frac{（10×22+11×25+13×29+12×26+8×16+6×12）-6×11×24}{（1{0}^{2}+1{1}^{2}+1{3}^{2}+1{2}^{2}+{8}^{2}+{6}^{2}）-6×1{1}^{2}}$=$\frac{18}{7}$，
$\widehat{a}$=24-$\frac{18}{7}×11$=-$\frac{30}{7}$，
∴y关于x的线性回归方程为$\widehat{y}$=$\frac{18}{7}x-\frac{30}{7}$，…（8分）
∵当x=10时，$\widehat{y}$=$\frac{150}{7}$，|$\frac{150}{7}-22$|＜2，
当x=6时，$\widehat{y}$=$\frac{78}{7}$，|$\frac{78}{7}-22$|＜2，
∴该小组所得线性回归方程是理想的．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查回归直线方程的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．