Question

1．定义在区间[x₁，x₂]长度为x₂-x₁（x₂＞x₁），已知函数f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]，则区间[m，n]取最长长度时a的值是7．

Answer 1

分析 根据分式函数的性质，判断函数为增函数，根据函数定义域与值域都是[m，n]，得到$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，转化为f（x）=x，有两个同号的相异实数根，利用一元二次方程根与系数之间的关系进行求解．

解答 解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．
x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数f（x）=$\frac{a+1}{a}$-$\frac{2}{{a}^{2}x}$在[m，n]上单调递增，则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，
故m，n是方程f（x）=$\frac{a+1}{a}$-$\frac{2}{{a}^{2}x}$=x的同号的相异实数根，
即a²x²-（a²+a）x+2=0的同号的相异实数根
∵mn=$\frac{2}{{a}^{2}}$，m+n=$\frac{{a}^{2}+a}{{a}^{2}}$=$\frac{a+1}{a}$
∴m，n同号，只需△=（a²+a）²-8a²=a²•[（a+1）²-8]＞0，
即（a+1）²-8＞0
∴a＞2$\sqrt{2}$-1或a＜-2$\sqrt{2}$-1，
n-m=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{（\frac{a+1}{a}）^{2}-\frac{8}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{7}{{a}^{2}}+\frac{2}{a}+1}$=$\sqrt{-7（\frac{1}{a}-\frac{1}{7}）^{2}+\frac{10}{7}}$，
n-m取最大值为$\sqrt{\frac{10}{7}}$．此时$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{7}$，即a=7，
故答案为：7

点评 本题考查了函数与方程的应用，根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，转化为一元二次方程是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．