Question

13．已知A（1，3），B（a，1），C（-b，0），（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是11+6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由A（1，3），B（a，1），C（-b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三点共线，可得k_AB=k_AC，化为3a+2b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵A（1，3），B（a，1），C（-b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三点共线，
∴k_AB=k_AC，$\frac{3-1}{1-a}$=$\frac{3-0}{1+b}$，化为3a+2b=1．
则$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$=（3a+2b）$（\frac{3}{a}+\frac{1}{b}）$=11+$\frac{6b}{a}+\frac{3a}{b}$≥11+3×2×$\sqrt{\frac{2b}{a}×\frac{a}{b}}$=11+6$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\sqrt{2}$b时取等号．
故答案为：11+6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．