Question

8．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数直接列出函数的解析式即可．
（2）利用（1）列出利润函数，分别求解分段函数的最值，推出结果即可．

解答 解：（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，
当0＜x≤100时，P=60
当100＜x≤500时，$P=60-0.02（x-100）=62-\frac{x}{50}$
所以$P=\left\{\begin{array}{l}60，0＜x≤100，x∈N\\ 62-\frac{x}{50}，100＜x≤500，x∈N\end{array}\right.$
（2）设销售商一次订购量为x件，工厂获得的利润为y元，则有$y=（P-40）x=\left\{\begin{array}{l}20x，0＜x≤100，x∈N\\ 22x-\frac{x^2}{50}，100＜x≤500，x∈N\end{array}\right.$
当0＜x≤100且x∈N时，易知x=100，y取得最大值2000元
当100＜x≤500且x∈N时，$y=-\frac{1}{50}{（x-550）^2}+6050$，
则此函数在100＜x≤500且x∈N上递增，故x=500时，y取得最大值6000元．
∵6000＞2000，
∴当销售商一次订购500件服装时，该服装厂获得的最大利润6000元．

点评 本题考查函数的最值的求法，实际问题的应用，考查转化思想以及计算能力．