Question

8．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$，（t为参数）曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4．
（1）在同一平面直角坐标系中，将曲线C₂上的点按坐标变换y′=yx，后得到曲线C′．求曲线C′的普通方程，并写出它的参数方程；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，Q为C′上的动点，求PQ中点M到直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=4+t}\end{array}\right.$（t为参数）的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x′=\frac{1}{2}x\\ y′=y\end{array}$得到$\left\{\begin{array}{l}x=2x′\\ y=y′.\end{array}$，代入曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4．化简可得椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4经伸缩变换后得到的曲线方程．利用平方关系可得它的参数方程．
（2）当t=$\frac{π}{2}$时，P（-4，4），Q（2cosθ，2sinθ），故M（-2+cosθ，2+sinθ）．曲线C₃：为直线x-2y+8=0，利用点到直线的距离公式可得M到C₃的距离d=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|$\sqrt{5}$cos（θ+α）+2|，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x′=\frac{1}{2}x\\ y′=y\end{array}$得到$\left\{\begin{array}{l}x=2x′\\ y=y′.\end{array}$①
将①代入曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4．得$\frac{4（{x}^{′}）^{2}}{4}$+（y′）²=4，即（x′）²+（y′）²=4．
因此椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4经伸缩变换后得到的曲线方程是x²+y²=4．…（4分）
它的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$…（5分）
（2）当t=π/2时，P（-4，4），Q（2cosθ，2sinθ），故M（-2+cosθ，2+sinθ）…（7分）
曲线C₃：为直线x-2y+8=0，
M到C₃的距离d=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|（-2+cosθ）-2（2+sinθ）+8|=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|cosθ-2sinθ+2|=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|$\sqrt{5}$cos（θ+α）+2|…（10分）
从而tanα=2时d的最小值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$|-$\sqrt{5}$+2|=$1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查了参数方程方程化为直角坐标方程、坐标变换、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．