Question

7．已知函数f（x）满足$f（x）-2f（\frac{1}{x}）=\frac{3}{x^2}$，则f（x）的最大值是（　　）

• A． -2
• B． $-2\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据恒等式得出$f（x）-2f（\frac{1}{x}）=\frac{3}{x^2}$，f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=3x²，解方程组得出f（x）=-（2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$），运用基本不等式求解即可．

解答 解：∵$f（x）-2f（\frac{1}{x}）=\frac{3}{x^2}$，
把x换为$\frac{1}{x}$，可得
f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=3x²，
解方程组得出：f（x）=-（2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
∵2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{2{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴-（2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）≤-2$\sqrt{2}$，
当且仅当2x²=$\frac{1}{{x}^{2}}$时取得最大值-2$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了运用转化变量，解方程组的方法求解函数解析式，运用基本不等式求解函数最值的方法，属于中档题．