题目内容
6．已知函数f（x）=$\frac{ax}{4{x}^{2}+16}$，g（x）=（$\frac{1}{2}$）|x-a|，其中a∈R．（1）若y=g（x）在[1，$\frac{3}{2}$]上的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求实数a的值；
（2）设函数p（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥2}\\{g（x），x＜2}\end{array}\right.$，若对任意x1∈[2，+∞]，总存在唯一的x2∈（-∞，2），使得p（x1）=p（x2）成立，求实数a的取值范围．
分析 （1）g（x）=（$\frac{1}{2}$）|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x-a}，x≥a}\\{（\frac{1}{2}）^{a-x}，x＜a}\end{array}\right.$，在（-∞，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减；结合y=g（x）在[1，$\frac{3}{2}$]上的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，分类讨论，可得满足条件的实数a的值；
（2）分①a≤0，②a＞0，两种情况，分别求出满足对任意x1∈[2，+∞]，总存在唯一的x2∈（-∞，2），使得p（x1）=p（x2）成立的实数a的取值，综合讨论结果，可得答案．
解答 解：（1）g（x）=（$\frac{1}{2}$）|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x-a}，x≥a}\\{（\frac{1}{2}）^{a-x}，x＜a}\end{array}\right.$，
在（-∞，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减；
①当a≤1时，当x=1时，gmax（x）=$（\frac{1}{2}）^{1-a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=$\frac{1}{2}$；
②当1＜a＜$\frac{3}{2}$时，当x=a时，gmax（x）=$（\frac{1}{2}）^{a-a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，无解；
③当a≥$\frac{3}{2}$时，当x=$\frac{3}{2}$时，gmax（x）=$（\frac{1}{2}）^{a-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=2；
综上所述，a=2或$\frac{1}{2}$．
（2）①若a≤0，由x1≥2，p（x1）=f（x1）=$\frac{a{x}_{1}}{4{x}_{1}^{2}+16}$≤0，
x2＜2，p（x2）=g（x2）=$（\frac{1}{2}）^{|{x}_{2}-a|}$＞0，
故p（x1）=p（x2）不可能成立；
②若a＞0，当x＞2时，
p（x）=f（x）=$\frac{ax}{4{x}^{2}+16}$=$\frac{a}{4x+\frac{16}{x}}$，
故p（x）在[2，+∞）上单调递减，
故p（x1）∈（0，f（2）]=（0，$\frac{a}{16}$]；
1°若a≥2，由x＜2时，p（x）=g（x）=（$\frac{1}{2}$）|x-a|=（$\frac{1}{2}$）-x+a=（$\frac{1}{2}$）a•2x，
∴p（x）在（-∞，2）上单调递增，
从而p（x2）∈（0，（$\frac{1}{2}$）a-2），
要使p（x1）=p（x2）成立，
只需$\frac{a}{16}$＜（$\frac{1}{2}$）a-2成立即可，
由于函数q（a）=$\frac{a}{16}$-（$\frac{1}{2}$）a-2在[2，+∞）上单调递增，且q（4）=0，
∴2≤a＜4；
2°若0＜a＜2，由x＜2时，p（x）=g（x）=（$\frac{1}{2}$）|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x-a}，x≥a}\\{（\frac{1}{2}）^{a-x}，x＜a}\end{array}\right.$，
∴p（x）在（-∞，a）上单调递增，在（a，2]上单调递减；
从而p（x2）∈（0，g（a）]=（0，1]，
要使p（x1）=p（x2）成立，
只需$\frac{a}{16}$＜1，且$\frac{a}{16}$≤（$\frac{1}{2}$）2-a成立即可，
即$\frac{a}{16}$≤（$\frac{1}{2}$）2-a成立即可，
由0＜a＜2得：$\frac{a}{16}$＜$\frac{1}{8}$，（$\frac{1}{2}$）2-a＞$\frac{1}{4}$，
故当0＜a＜2时，$\frac{a}{16}$≤（$\frac{1}{2}$）2-a恒成立．
综上所述：0＜a＜4．
点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，分类讨论思想，难度中档．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．
如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ（-π＜θ＜π）与时间t（s）满足函数关系式θ=$\frac{1}{2}$sin（2t+$\frac{π}{2}$），则当t=0时，角θ的大小及单摆频率是（ ）| A． | $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{π}$ | B． | 2，$\frac{1}{π}$ | C． | $\frac{1}{2}$，π | D． | 2，π |
| A． | 有极小值，无极大值 | B． | 有极大值，无极小值 | ||
| C． | 既有极小值，也有极大值 | D． | 既无极小值，也无极大值 |
| A． | 6人 | B． | 9人 | C． | 10人 | D． | 7人 |
| A． | -$\sqrt{3}$ | B． | 0 | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |