Question

10．已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₆=243．S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=1，S₅=25．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列，等比数列的通项公式，求和公式列方程解出公差与公比，得出通项公式；
（2）使用错位相减法求和．

解答 解：（1）设{a_n}的公比为q，数列{b_n}的公差为d，
a₆=a₁q⁵=q⁵=243，S₅=5b₁+$\frac{5×4}{2}d$=5+10d=25，
解得q=3，d=2．
∴${a_n}={3^{n-1}}$．b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
∴${T_n}=1×1+3×3+5×{3^2}+7×{3^3}+…+（{2n-3}）×{3^{n-2}}+（{2n-1}）×{3^{n-1}}$，①
∴$3{T_n}=1×3+3×{3^2}+5×{3^3}+7×{3^4}+…+（{2n-3}）×{3^{n-1}}+（{2n-1}）×{3^n}$，②
①-②得：$-2{T_n}=1+2（{3+{3^2}+…+{3^{n-1}}}）-（{2n-1}）×{3^n}$，
∴T_n=（n-1）×3ⁿ+1．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，错位相减法数列求和，属于中档题．