Question

15．曲线y=$\sqrt{x}$和x²+y²=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（　　）

• A． $\frac{1}{6}+\frac{π}{8}$
• B． $\frac{1}{3}+\frac{π}{4}$
• C． $\frac{1}{6}+\frac{π}{4}$
• D． $\frac{1}{3}+\frac{π}{8}$

Answer 1

分析 首先求出曲线的交点，S_阴影=S_扇形0AC-S_三角形OBA+S_{曲多边形OBA}，分别求出其面积，问题得以解决．

解答 解：曲线y=$\sqrt{x}$和x²+y²=2及x轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部所示
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得x=1，y=1，即A（1，1），B（1，0），
因为S_{曲多边形OBA}=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx=$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{2}{3}$，
S_三角形OBA=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
S_扇形0AC=$\frac{45°}{360}$π×2=$\frac{π}{4}$，
∴S_阴影=S_扇形0AC-S_三角形OBA+S_{曲多边形OBA}=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{6}$，
故选：C．

点评 本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分表示面积，属于常规题．