Question

19．已知球的半径为25，有两个平行平面截球所得的截面面积分别是49π和400π，则这两个平行平面间的距离为9或39．

Answer 1

分析 先根据两个截面圆的面积分别求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的两种情况，最后对每一种情况分别求出两个平行平面的距离即可．

解答 解：设两个截面圆的半径别为r₁，r₂．球心到截面的距离分别为d₁，d₂．球的半径为R．
由πr₁²=49π，得r₁=7．
由πr₂²=400π，得r₂=20．
如图①所示．当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，
即d₁-d₂=$\sqrt{2{5}^{2}-{7}^{2}}-\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}=9$．
如图②所示．当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．
即d₁+d₂=$\sqrt{2{5}^{2}-{7}^{2}}+\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}=39$．
故答案为：9或39．

点评 本题主要考查两个平行平面间的距离计算问题．此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系以及空间想象能力和计算能力．本题的易错点在于只考虑一种情况，从而漏解．