题目内容
8．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱CC1垂直于底面ABC，AC=3，AB=5，CB=4，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求三棱锥A1-B1CD的体积．
分析 （1）由勾股定理得AC⊥BC，由CC1⊥面ABC 得到CC1⊥AC，从而得到AC⊥面BCC1，故AC⊥BC1．
（2）C作CF⊥AB垂足为F，CF⊥面ABB1A1，面积法求CF，求出三角形DB1A1的面积，代入体积公式进行运算．
解答 （1）证明：在△ABC中，∵AC=3，AB=5，BC=4，
∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC．
又∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1∩BC=C，
∴AC⊥平面BCC1，∴AC⊥BC1．
（2）解：在△ABC中，过C作CF⊥AB，F为垂足，
∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CF⊥平面ABB1A1，
由AC×BC=AB×h，得$h=\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$．
∴三棱锥A1-B1CD的体积V=${V}_{C-{A}_{1}D{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}D{B}_{1}}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×5×4×\frac{12}{5}$=8．
点评 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求三棱锥的体积，求点C到面A1B1D的距离是解题的难点．
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19．
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已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=$\frac{1}{2}$AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．则SN与平面CMN所成角的大小为（ ）| A． | 30° | B． | 45° | C． | 60° | D． | 90° |
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