Question

11．已知a，b∈R，a²+b²=4，求3a+2b的取值范围为（　　）

• A． （-∞，4]
• B． $[-2\sqrt{13}，2\sqrt{13}]$
• C． [4，+∞）
• D． （-∞，2$\sqrt{13}$]∪[2$\sqrt{13}$，+∞）

Answer 1

分析 利用换元法，设a=2sinα，b=2cosα，那么3a+2b=6sinα+4cosα，利用三角函数的有界限，即可得到答案

解答 解：由题意：a²+b²=4，
设a=2sinα，b=2cosα，α∈（0，2π）
那么3a+2b=6sinα+4cosα，
=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}sin（α+$φ）
=$2\sqrt{13}sin（α+$φ），其中tanφ=$\frac{2}{3}$．
∵sin（α+φ）的取值范围是[-1，1]
∴$-2\sqrt{13}$≤3a+2b$≤2\sqrt{13}$
故选：B

点评 本题考查了不等式性质运用，根据题意先构成等式，换元思想，利用有界限的函数解题．本题还可以用“斜率”和“柯西不等式”求解；属于基础题．