Question

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A-B）=asinA-bsinB，a≠b．
（Ⅰ）求边c；
（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．

Answer 1

分析 （I）由2sin（A-B）=asinA-bsinB，a≠b．可得2sinAcosB-2cosAsinB=asinA-bsinB，a≠b．利用正弦定理及其余弦定理即可得出．
（II）由于tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2，且sin²C+cos²C=1，解得sinC，cosC；由于S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{1}{2}ab$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=1，可解得ab；由余弦定理可得：cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$即可得出a+b的值．

解答 解：（I）在△ABC中，∵2sin（A-B）=asinA-bsinB，a≠b．
∴2sinAcosB-2cosAsinB=asinA-bsinB，a≠b．
利用正弦定理可得：2acosB-2bcosA=a²-b²，a≠b．
由余弦定理可得：$2a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-2b×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=a²-b²，化为：c=2．
（II）∵tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2，且sin²C+cos²C=1，解得sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{1}{2}ab$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=1，解得ab=$\sqrt{5}$．
由余弦定理可得：cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-4}{2ab}$，
∴a²+b²=6，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=6+2$\sqrt{5}$，
解得a+b=$\sqrt{5}$=1．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、方程的解法、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．