Question

4．已知函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），令${a_n}=\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$（n∈N^*），记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₇=（　　）

• A． $\sqrt{2018}+1$
• B． $\sqrt{2018}-1$
• C． $\sqrt{2017}-1$
• D． $\sqrt{2017}+1$

Answer 1

分析 由代入法，可得a的值，求得${a_n}=\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和．

解答 解：函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），
可得4^a=2，解得a=$\frac{1}{2}$，
f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，
则${a_n}=\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
则S₂₀₁₇=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2018}$-$\sqrt{2017}$=$\sqrt{2018}$-1．
故选：B．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查幂函数的解析式的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．