Question

15．在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b-c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用余弦定理，即可求出角A的值；
（2）利用三角形的面积公式，结合题意，即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）△ABC中，由c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²
得2ac•cosB-bc=2（a²-b²），
由余弦定理得2ac•cosB=a²+c²-b²，
代入上式化简得b²+c²-a²=bc，
又b²+c²-a²=2bc•cosA=bc，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）得，b²+c²-a²=bc，
因为a=$\sqrt{3}$，所以b²+c²-3=bc，
又b-c=1，
即（b-c）²=b²+c²-2bc=3-bc=1，
解得bc=2；
所以△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式的应用问题，是综合性题目．