Question

已知公比为q的等比数列{a_n}是递减数列，且满足a₁+a₂+a₃=

13

9

，a₁a₂a₃=

1

27

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{（2n-1）•a_n}的前n项和为T_n；
（Ⅲ）若bn=

n

3n-1•an

+

3

2

(n∈N*)，证明：

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

≥

4

35

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等比数列的公式求出数列的首项和公比，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列{（2n-1）•a_n}的前n项和为T_n；
（Ⅲ）先求出b_n的通项公式，利用不等式的证明方法证明不等式即可．

解答：解：由a₁a₂a₃=

1

27

，及等比数列性质得a23=

1

27

，即a₂=

1

3

，
由a₁+a₂+a₃=

13

9

得a₁+a₃=

10

9

由

a2= 1 3 a1+a3= 10 9

得

a1q= 1 3 a1+a1q2= 10 9

，
∴

1+q2

q

=

10

3

，
即3q²-10q+3=0
解得q=3，或q=

1

3

．
∵{a_n}是递减数列，故q=3舍去，
∴q=

1

3

，由a₂=

1

3

，得a₁=1．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

3n-1

（n∈N^*）．
（II）由（I）知（2n-1）•a_n=

2n-1

3n-1

，
∴T_n=1+

3

3

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

①

1

3

T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

②．
①-②得：

2

3

T_n=1+

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=1+2（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

）-

2n-1

3n

=1+2•

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n

=2-

1

3n-1

-

2n-1

3n

∴T_n=3-

n+1

3n-1

．
（Ⅲ）∵bn=

n

3n-1•an

+

3

2

(n∈N*)=n+

3

2

=

2n+3

2

，
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

2

5

•

2

7

+

2

7

•

2

9

+…+

2

2n+3

•

2

2n+5

=2[（

1

5

-

1

7

）+（

1

7

-

1

9

）+…+（

1

2n+3

-

1

2n+5

）]
=2（

1

5

-

1

2n+5

）．
∵n≥1，

1

5

-

1

2n+5

≥

1

5

-

1

7

=

2

35

，
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

≥

4

35

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式以及利用错误相减法求数列的和，考查学生的运算能力．