题目内容
8．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），又以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρsinθ-3=0．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的长．
分析 （1）利用极坐标与直角坐标方程互化方法将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C方程得t2+4t-10=0，利用参数的几何意义求|AB|的长．
解答 解：（1）曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+4ρsinθ-3=0，
化为ρ2cos2θ-ρ2sin2θ+4ρsinθ-3=0，即x2-y2+4y-3=0．
∴曲线C的直角坐标方程为（y-2）2-x2=1．
（2）将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C方程得t2+4t-10=0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-4，t1t2=-10，
所以$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=2\sqrt{14}$．
点评 本题考查极坐标与直角坐标方程互化方法，考查参数的几何意义，属于中档题．
练习册系列答案
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