Question

（本小题满分13分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若AB的面积为，求以 为圆心且与直线相切圆的方程．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）因为||=2，所以.又点（1，）在该椭圆上，所以根据椭圆的定义可求出的值，从而求出.（2）首先应考虑直线⊥x轴的情况，此时A（-1，-），B（-1，），AB的面积为3，不符合题意．当直线与x轴不垂直时，.设直线的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：，用弦长公式可得|AB|= ，用点到直线的距离公式可得 圆的半径r=，这样根据题中所给面积可求出的值，从而求出半径，进而得到圆的方程为．

试题解析：（1）因为||=2，所以.

又点（1，）在该椭圆上，所以．

所以.

所以椭圆C的方程为 ．．（4分）

（2）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面积为3，不符合题意．

（6分）

②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：

，

显然＞0成立，设A，B，则

，，

可得|AB|= ．．（9分）

又圆的半径r=，

∴AB的面积=|AB| r==，

化简得：17+-18=0，得k=±1，

∴r =，圆的方程为 ．．（13分）

考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系.