Question

1．已知函数f（x）=|x+a|+|x-3|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．
（Ⅲ）若当a=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t²-$\frac{1}{2}$t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，解关于x的不等式，取并集即可；
（Ⅱ）根据绝对值的性质得到|a+3|=5，解出即可；
（Ⅲ）求出f（x）的最小值，得到关于t的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，不等式f（x）≥x+8可化为：
|x+1|+|x-3|≥x+8．
x＜-1时，有-（x+1）-（x-3）≥x+8，解得：x≤-2，
-1≤x≤3时，有（x+1）-（x-3）≥x+8，解得：x≤-4，不合题意，
x＞3时，有（x+1）+（x-3）≥x+8，解得：x≥10，
综上，x≤-2或x≥10，
故不等式的解集是（-∞，-2]∪[10，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x-3|≥|x+a-x+3|=|a+3|，
令|a+3|=5，解得：a=2或a=-8；
（Ⅲ）当a=2时，f（x）=|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5，
从而t²-$\frac{1}{2}$t≤5⇒2t²-t-10≤0，
解得：-2≤t≤$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的几何意义以及分类讨论思想，是一道中档题．