Question

8．已知过抛物线x²=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l，l与抛物线交于A、B两点．
（1）若角∠AOB为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围；
（2）若P为抛物线的焦点，过点P且与l垂直的直线l′与与抛物线交于C、D两点，设AB、CD的中点分别为M、N．求证：直线MN必过定点．

Answer 1

分析 （1）设直线方程，代入抛物线方程，由韦达定理可知：x_l+x₂=4k，x₁x₂=-4m．由角∠AOB为钝角，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，根据向量数量积的坐标表示即可求得m的取值范围；
（2）若P为焦点，则m=1，P（0，1），l：y=kx+1，由（1）求得M点坐标，根据直线l′过点P且与l垂直，求得N点坐标，求得直线的MN的斜率，代入即可求得直线MN的方程，整理可得：y=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$x+3，可知直线MN必过定点（0，3）．

解答 解：（1）设l：y=kx+m，代入抛物线x²=4y的方程化简得x²-4ky-4m=0，
∵m＞0，
∴△=16k²+16m＞0恒成立
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），则x_l+x₂=4k，x₁x₂=-4m．
又角∠AOB为钝角，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，
则（1+k²）（-4m）+km•4k+m²＜0，即m²-4m＜0，
∵m＞0，解得0＜m＜4；
（2）证明：若P为焦点，则m=1，P（0，1），l：y=kx+1，
由（1）可知，x_m=2k，y_m=2k²+1，点M的坐标为（2k，2k²+1），
∵直线l′过点P且与l垂直，可得点N的坐标为（-$\frac{2}{k}$，$\frac{2}{{k}^{2}}$+1），
直线MN的斜率为$\frac{2{k}^{2}-\frac{2}{{k}^{2}}}{2k+\frac{2}{k}}$=k-$\frac{1}{k}$，
直线MN的方程为y-（2k²+1）=（k-$\frac{1}{k}$）（2-2k），即
y=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$x-2k²+2+（2k²+1）=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$x+3，
令x=0，得y=3，
故直线MN过定点（0，3）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式及直线方程的应用，考查计算能力，属于中档题．