Question

19．直线ax-y-2a+1=0，被圆C：x²+y²-10x+6y-15=0截得的最短弦长是4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，当l⊥PC时直线l被圆截得的弦最短，由弦长公式求出即可

解答 解：直线ax-y-2a+1=0可化为a（x-2）-y+1=0，
该直线过定点P（2，1），且P在圆内，
圆C：x²+y²-10x+6y-15=0化为标准方程是：
（x-5）²+（y+3）²=49，圆心C（5，-3）；
则|PC|=$\sqrt{{（5-2）}^{2}{+（-3-1）}^{2}}$=5，
当直线与PC垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，
最短弦长是|AB|=2×$\sqrt{{r}^{2}{-PC}^{2}}$=2×$\sqrt{49{-5}^{2}}$=4$\sqrt{6}$．
故答案为：4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了直线过圆内定点时所解得弦长问题，以及配方法的应用问题，是基础题目．