Question

已知f(x)=

(x-2)2

x

+m-6为定义域上的奇函数（其中m为常数），
（Ⅰ）试求出实数m的值和f（x）解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）在[-2，2]上的最大值为m，试求实数a的值．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，
且f(x)=

x2-4x+4

x

+m-6=x+

4

x

+m-10
对任意x∈{x∈R|x≠0}，由奇函数性质，有f（-x）+f（x）=0恒成立
所以，(-x+

4

-x

+m-10)+x+

4

x

+m-10=0即2m-20=0恒成立，
∴m=10，f(x)=x+

4

x

（Ⅱ）函数g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）在[-2，2]上的最大值为10，
当a＞1时，a^x为R上单调递增函数，g（x）=2a^x-22在[-2，2]上单调递增，g（x）_最大=g（2）=10
即：2a²-22=10，即a²=16，从而，a=4
当0＜a＜1时，a^x为R上单调递减函数，g（x）=2a^x-22在[-2，2]上单调递减，g（x）_最大=g（-2）=10
即：2a^-2-22=10，即a^-2=16，从而，a=

1

4

综上，实数a的值为4或

1

4

．