Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，PA⊥平面PCD，PA=2$\sqrt{3}$，PD=2，E为线段DP上的一点．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角P-BC-E与二面角E-BC-D的大小相等，求DE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）过P、E作AD的垂线，交AD于M、N，过M、N作AB的平行线交BC于G、H，则∠PGM为二面角P-BC-A的平面角，∠EHN为二面角E-BC-A的平面角，由题意得∠PGM=2∠EHN，由此能求出DE的长．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA⊥面PCD，CD?面PCD，∴PA⊥CD，
又∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，
∵CD?面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）过P、E作AD的垂线，交AD于M、N，
则PM⊥底面ABCD，PN⊥底面ABCD，
过M、N作AB的平行线交BC于G、H，连结PG、EH，
则∠PGM为二面角P-BC-A的平面角，∠EHN为二面角E-BC-A的平面角，
由题意得∠PGM=2∠EHN，
∵PM=$\sqrt{3}$，MG=1，tan$∠PGM=\frac{PM}{MG}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠EHN=$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{EN}{NH}=\frac{EN}{1}$，解得EN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴DE=$\frac{1}{3}DP=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．