Question

7．若数列{a_n}满足a₂-a₁＜a₃-a₂＜a₄-a₃＜…＜a_n+1-a_n＜…，则称数列{a_n}为“上进数列”，若数列{a_n}是上进数列，且其通项a_n与的前n项和S_n（n∈N^*）满足：S_n=2a_n+3λ-1（n∈N^*），则λ的取值范围是（-∞，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 根据数列递推公式得到数列{a_n}是以2为公比的等比数列，求出数列{a_n}的通项公式，再根据新定义，即可求出λ的范围．

解答 解：∵S_n=2a_n+3λ-1（n∈N^*），
n≥2时，S_n-1=2a_n-1+3λ-1，
两式相减得a_n=2a_n-1．
故数列{a_n}是以2为公比的等比数列，
当n=1时，a₁=1-3λ
∴a_n=（1-3λ）2^n-1，
计算可得a_n+1-a_n=（1-3λ）2^n-1，a_n-a_n-1=（1-3λ）2^n-2，
由此可得（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=（1-3λ）2^n-2＞0
故1-3λ＞0，解得λ＜$\frac{1}{3}$
故λ的取值范围为（-∞，$\frac{1}{3}$），
故答案为：（-∞，$\frac{1}{3}$）

点评 本题考查了递推关系、不等式的解法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．